Ekkor természetesen vetődik fel a kérdés: mi a helyzet n hölgy esetén. Ezek után várható, hogy a gyerekek maguk fogják követelni a következő kérdést: Mely páratlan számok írhatók fel három pozitív, páratlan, összetett szám összegeként? 17. A teljes indukció (teszt) Ebben a fejezetben nincs információ tanároknak. 18. Gráfok 18. Az itt következő (a 18. 5D.,??.,??. ) feladatok a gráfelméleti nyelv bevezetését készítik elő. Részletes kidolgozásukat l. a 9-10. osztályos feladatgyűjtemény "Gráfelméleti alapfogalmak" c. fejezetének elején. A gráf fogalmának bevezetése nem sürgős nyolcadikban, ráérünk akkor, amikor a csoportot elég érettnek tartjuk hozzá. Ezért tettük a 9-10. osztályos anyagba. A gráfelméleti nyelvre való átfogalmazást csak abban az esetben jogos kérdeznünk, ha előtte már bevezettük a gráfelméleti nyelvet. Szerencsésebbnek tartom ezzel várni kilencedikig, de ha úgy érezzük, hogy a csoport már érett rá, akkor mindenképp érdemes végigvenni e feladat előtt a 9-10. osztályos feladatgyűjtemény gráfelméleti alapfogalmakról szóló fejezetéből a gráf-fogalom bevezetésére szolgáló feladatokat.
41. Visszakérdezhetünk: "Ha az osztódás után egyetlen állatka sem pusztulna el, egy papucsállatka utódainak a térfogata mennyi idő alatt érné el a Nap térfogatát? (A papucsállatkák átlagban 27 óra alatt osztódnak ketté, a Nap térfogata körülbelül 1027 m3. ) 13. (teszt) Ebben a fejezetben nincs információ tanároknak. 14. Egyenlőtlenségek 14. Próbáljuk összeszedetni a diákokkal, milyen módszereket alkalmaztak az egyenlőtlenségek megoldása közben! 15. NEVEZETES AZONOSSÁGOK 33 Gondoljuk meg együtt, hogy ugyanúgy bánhatunk-e az egyenlőtlenségekkel, mint az egyenletekkel! 15. Nevezetes azonosságok 15. 48. Hívjuk fel a figyelmet, hogy ezek az azonosságok a A. 47 feladat azonosságaiból is megkaphatók b 7→ (−b) helyettesítéssel! 34 21. Négyzetgyök Ebben a fejezetben nincs információ tanároknak. 22. Négyzetgyök (teszt) Ebben a fejezetben nincs információ tanároknak. 16. Nevezetes azonosságok (teszt) 23. Vegyes feladatok 23. Folytatás: K. 22 17. Egyenletek II. 23. Nem lehet elszállítani a köveket: a 8 legkönnyebb kő össztömege nagyobb, mint 2 tonna.
16 Osztók, osztóháló A Sz. 2-Sz. fejezetek feladatainak megoldása kapcsán a diákokban megszilárdul az az elképzelés, hogy a prímek az egész számok építőkövei. Képessé válnak arra, hogy a prímtényezős felbontás ismeretében felírják egy adott szám összes osztóját, általában anélkül, hogy igényük lenne igazolni, valóban nincs más osztó. Nem nagyon erőltetjük a bizonyítást, erre általában később térünk csak vissza. Az osztók rendszerének áttekintésében nagyon nagy segítséget jelent a Sz. 27. feladat átgondolása, az osztóháló fogalmának kialakítása. (Lásd még a Sz. 28. feladatot. ) OSZTÓK, OSZTÓHÁLÓ 18 Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Elvileg hatodikos anyag, de hetedikben tudatosítani szoktuk, hogy közös nevezőre hozásnál (Sz. 4) a nevezők legkisebb közös többszörösét keressük meg. Az Sz. fejezet után már nem gond az lnko és lkkt prímtényezős alakjának felírása. Általában hetedikben terítékre kerül az (a | x, b | x ⇒ [a, b] | x) összefüggés. A diákok ezt gyakran már maguk indokolják konkrét esetekben, a prímtényőket használják.
- Hogyan írhatjuk fel a parabola egyenletét és milyen adatokra van ehhez szükség. - A parabola egyenlete, ha tengelye párhuzamos az x tengellyel, illetve ha tengelye párhuzamos az y ámtani és mértani sorozatok - - Kombinatorika - Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is. - Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db. -ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk. - Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélülószínűségszámítás - Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket. - A valószínűség kiszámításának klasszikus modellje az, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll a vizsgált esemény és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával. - Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.
Az a cél, hogy a nebuló egyenként keresse meg a számok osztóit. Nem baj, ha a gyök fogalmát nem tisztázzuk teljes pontossággal és mégis használjuk, igénybe vesszük a számológépet is. 19 1. 25T. ábra. 3. OSZTÓK (TESZT) 21 3. Osztók (teszt) Ebben a fejezetben nincs információ tanároknak. 4. Prímtényezők 4. A számelmélet alaptételét először ennek a feladatnak megoldása kapcsán szoktuk megfogalmazni. Érdemes visszakérdezni arra, hogy valóban minden pozitív egészből kiindulva véges lépésben befejeződik-e a prímtényezőkre bontó algoritmus. n = 0 vagy n = ±1 vagy n prím (értelmezés szerint lehet: |n| prím). Ennek a játéknak a táblás változata 2 dimenzióban a K. feladat. 5. Közös osztó, közös többszörös 22 7. A feladat megoldása után visszakérdezhetünk: "Akkor ugye az is igaz, hogy bármely két egymást követő természetes szám összege is osztható kettővel? " 8. Maradékos osztás (teszt) Ebben a fejezetben nincs információ tanároknak. 9. Oszthatósági szabályok 9. 99. 102000564. 8888888880. 10. Oszthatósági szabályok (teszt) Ebbe a fejezetbe olyan... Ebben a fejezetben nincs információ tanároknak.
Algebra, 8. évfolyam: 20 óra A 20 óra kevés! ) Tananyag: Egyszerű nevezetes algebrai azonosságok. A biztos algebrai készség megalapozása. A számfogalom bővítése, irracionális számok. Fogalmak: Teljes négyzet, teljes köb. Nevezetes azonosságok, szorzattá alakítás és ezek szerepe egyenletek megoldásában. A négyzetgyök fogalma, irracionális számok, két szám számtani, mértani, harmonikus és négyzetes közepe (sok és korai a négy közép). Tételek, összefüggések: a2 −b2, a3 −b3, a4 −b4, a3 +b3 szorzattá alakítása; teljes négyzet és teljes köb. A hatványozás azonosságai egész kitevőre; a négyzetgyökvonás azonosságai (csak számokkal). A megismert közepek közti egyenlőtlenségek (sok és ekkor még felesleges). 27 30 ARITMETIKA 3. Arányosság Ebben a fejezetben nincs információ tanároknak. 4. Arányosság (teszt) Ebben a fejezetben nincs információ tanároknak. Aritmetika 5. Szöveges feladatok A Gauss összegzéssel kapcsolatos feladatok: A. 8, A. 21, A. 22, A. 23, A. 24, A. 25, A. 26, A. 27 A. 28, A. 29, A.
27) táblás változata 2 dimenzióban. 12. Érdemes meggondolni, hogyan lehetne a b) részt az a) rész 2. megoldásának mintájára bebizonyítani. 14. Ez a feladat jóval nehezebb lesz, ha egyszerre két kupaccal játszunk. 10. Rengeteg módon variálhatjuk ezt a kérdést. Változtathatjuk a lefedésre váró idomot, vagy a lefedéshez használható elemeket. Erre látunk több példát az állapotfüggvénnyel kapcsolatosan a Vegyes feladatok között. 12. A kerületi szögek, látókörök témakörét eleveníti fel ez a megoldás. Ez olyan, mintha bajnokságot szerveztünk volna, ahol a különböző fordulók mérkőzései a különböző színek. Érdemes egy hibás bizonyítással megbolondítani a diákokat. Teljes indukcióval szépen megmutatható, hogy az összes felezőmerőleges egy ponton megy át. Lásd [10][177. Az előző feladat továbbgondolása: a színezést kívül pl kékkel kezdjük, s rábökve egy tetszőleges belső részre azt kérdezzük, hogy az milyen színű lesz? (Persze az egész színezés elkészítése nélkül. ) 12. Érdemes a feladatot feladni egyenesek helyett körökkel is.
Algebra (A. I) Általános irányelvek Tematika 1. Algebra, 7. évfolyam: 25 óra Tananyag: Az algebrai ismeretek ismétlése; a betűk célszerű használata; az algebrai kifejezésekkel való számolás gyakorlása egyszerű azonosságok, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában. Fogalmak: Egyenes és fordított arányosság, százalékláb, százalékérték; mérlegelv; a negatív egész kitevőjű hatvány; normálalak. Tételek, összefüggések: Zárójelfelbontás, disztributivitás, (a · b)2, (a + b) · (a − − b), (a ± b)2 átalakítása (nem készségszinten). A hatványozás azonosságai konkrét esetekben. Út, idő, sebesség összefüggése. Eljárások, algoritmusok: Számolás algebrai egész kifejezésekkel: zárójelfelbontás, disztributivitás, összevonás; egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel. Szöveggel megadott egyszerűbb feladatok lefordítása az algebra nyelvére, egyenletek felállítása. Pontosítás: Arányossággal és százalékszámítással, algebrai átalakításokkal megoldható szöveges feladatok. Alakalmazások: Egyszerűbb keverési feladatok, mozgásos feladatok.